Sume de numere naturale. Sume Gauss

 Salutări, dragi exploratori ai numerelor! Sunteți pregătiți pentru o aventură fascinantă în lumea adunărilor? Astăzi vom descoperi împreună o metodă magică de a calcula sume lungi de numere naturale. Nu va fi nevoie să adunăm număr cu număr, ci vom învăța o scurtătură inteligentă, inventată de un matematician foarte isteț pe nume Carl Friedrich Gauss. Sună interesant, nu-i așa? Haideți să pornim la drum!

De unde a început totul? O poveste despre Gauss cel mic

Se spune că, pe când era doar un băiețel la școală, Gauss a fost pus de învățător să adune toate numerele de la 1 până la 100. Învățătorul credea că elevii vor fi ocupați o bună bucată de vreme cu această sarcină. Însă, spre surprinderea tuturor, micul Gauss a dat răspunsul corect într-un timp foarte scurt. Cum a reușit? Ei bine, el a observat un șiretlic!

Trucul lui Gauss: Perechi istețe

În loc să adune numerele unul câte unul, Gauss a văzut că le putea grupa în perechi care dau aceeași sumă:

• Primul număr (1) cu ultimul număr (100) fac 1 + 100 = 101
• Al doilea număr (2) cu penultimul număr (99) fac 2 + 99 = 101
• Al treilea număr (3) cu antepenultimul număr (98) fac 3 + 98 = 101

Și așa mai departe. Observați că fiecare pereche adunată dă rezultatul 101!

Acum, trebuie să ne dăm seama câte astfel de perechi avem de la 1 până la 100. Dacă avem 100 de numere, atunci vom avea exact jumătate din acest număr de perechi, adică 100 / 2 = 50 de perechi.

Pentru a găsi suma totală, trebuie doar să înmulțim suma unei perechi (101) cu numărul de perechi (50):

$$S=101\times 50=5050$$

Uimitor, nu-i așa? Gauss a găsit răspunsul rapid și elegant!

$S_n$ reprezintă suma totală a numerelor de la 1 până la n.

Formula magică a lui Gauss

Putem generaliza trucul lui Gauss într-o formulă care ne ajută să calculăm suma primelor n numere naturale:

$$S_n=1+2+3+\cdots +n=n\times (n+1)/2$$📌 S = n × (n + 1) / 2, unde n este ultimul număr din șir.​

Unde:

• Sn​ este suma primelor n numere naturale.
• n este ultimul număr din șirul pe care vrem să-l adunăm.

Să verificăm dacă formula funcționează pentru exemplul nostru cu numerele de la 1 la 100:

$$S_{100}=100\times (100+1)/2=100\times 101=10100/2=5050$$

Perfect! Formula ne dă același rezultat.

Să exersăm puțin!

Acum este rândul vostru să folosiți formula lui Gauss. Calculați suma primelor 20 de numere naturale.

Pentru a rezolva, vom folosi formula cu $n=20$:

$$S_{20}=\frac{20\times (20+1)}{2}=\frac{20\times 21}{2}=420/2=210$$

Deci, suma numerelor de la 1 la 20 este 210.

Ei bine, suma totală în contextul formulei lui Gauss se referă la rezultatul adunării tuturor numerelor din șirul pe care îl calculezi cu acea formulă

Și dacă șirul nu începe de la 1?

Ce facem dacă vrem să adunăm numere dintr-un șir care nu începe cu 1, de exemplu, numerele de la 10 la 50?

În acest caz, putem folosi trucul lui Gauss în doi pași:

1. Calculăm suma tuturor numerelor de la 1 până la ultimul număr din șir (în cazul nostru, 50).
2. Calculăm suma tuturor numerelor de la 1 până la numărul dinaintea primului număr din șir (în cazul nostru, 9).
3. Scădem rezultatul pasului 2 din rezultatul pasului 1.

Aplicând formula:

1. Suma de la 1 la 50: $S_{50}=50\times (50+1)=\frac{50\times 51}{2}=\frac{2550/2}{2}=1275$2 . Suma de la 1la 9:$S_9=9\times (9+1)/2=9\times 10=90/2=45$

Concluzie

Felicitări, mici matematicieni! Ați învățat astăzi o metodă ingenioasă de a calcula sume de numere naturale, inspirată de mintea strălucită a lui Gauss. Sper că v-a plăcut această lecție și că veți folosi cu încredere formula lui Gauss pentru a rezolva probleme interesante. Nu uitați, matematica poate fi o aventură minunată plină de descoperiri! Până la următoarea lecție, continuați să explorați lumea fascinantă a numerelor!

🧠 Fișă de lucru – Magia adunării cu Gauss!

Nume: __________________________
Data: __________________________

1.Completează următoarele calcule folosind formula învățată:

a) Suma numerelor de la 1 la 10 =
S = _____ × (_____ + 1) / 2 = __________

b) Suma numerelor de la 1 la 25 =
S = _____ × (_____ + 1) / 2 = __________

c) Suma numerelor de la 1 la 50 =
S = _____ × (_____ + 1) / 2 = __________

d) Suma numerelor de la 1 la 100 =
S = _____ × (_____ + 1) / 2 = _________

🧮 2. Sume care așteaptă să fie descoperite

Folosește formula lui Gauss pentru a calcula următoarele sume:

a) 1 + 2 + 3 + ... + 15 = __________
b) 1 + 2 + 3 + ... + 35 = __________
c) 1 + 2 + 3 + ... + 70 = __________
d) 1 + 2 + 3 + ... + 150 = __________

3. Sume parțiale – Șiruri care încep mai târziu

Aplică metoda celor 2 pași pentru a calcula:

a) Suma numerelor de la 21 la 40
b) Suma numerelor de la 55 la 75
c) Suma numerelor de la 101 la 120

4.Știi că suma numerelor de la 1 la 50 este 1.275. Dacă lipsește un număr, iar suma este 1.250, ce număr lipsește?

➡️ Numărul lipsă este: ______________

Răspunsuri – Fișa de lucru

1.Exerciții de aplicare – Sume rapide cu formula lui Gauss

a) Suma numerelor de la 1 la 10 =
S = 10 × (10 + 1) / 2 = 10 × 11 / 2 = 55

b) Suma numerelor de la 1 la 25 =
S = 25 × 26 / 2 = 650 / 2 = 325

c) Suma numerelor de la 1 la 50 =
S = 50 × 51 / 2 = 2.550 / 2 = 1.275

d) Suma numerelor de la 1 la 100 =
S = 100 × 101 / 2 = 10.100 / 2 = 5.050

2. Sume care așteaptă să fie descoperite

a) 1 + 2 + 3 + ... + 15 =
15 × (15 + 1) / 2 = 15 × 16 / 2 = 120

b) 1 + 2 + 3 + ... + 35 =
35 × 36 / 2 = 1.260 / 2 = 630

c) 1 + 2 + 3 + ... + 70 =
70 × 71 / 2 = 4.970 / 2 = 2.485

d) 1 + 2 + 3 + ... + 150 =
150 × 151 / 2 = 22.650 / 2 = 11.325

3. Sume parțiale – Șiruri care încep mai târziu

a) Suma numerelor de la 21 la 40:
S40 = 40 × 41 / 2 = 820
S20 = 20 × 21 / 2 = 210
Diferența: 820 - 210 = 610

b) Suma numerelor de la 55 la 75:
S75 = 75 × 76 / 2 = 2.850
S54 = 54 × 55 / 2 = 1.485
Diferența: 2.850 - 1.485 = 1.365

c) Suma numerelor de la 101 la 120:
S120 = 120 × 121 / 2 = 7.260
S100 = 100 × 101 / 2 = 5.050
Diferența: 7.260 - 5.050 = 2.210

🧠 4. Puzzle matematic: Cine lipsește?

Suma de la 1 la 50: 1.275
Suma găsită: 1.250
Diferența: 1.275 - 1.250 = 25

➡️ Numărul lipsă este: 25